Matematika Wajib-Kelas XI IPS

INDUKSI MATEMATIKA

 

1.  Metode Pembuktian

A. Metode Pembuktian langsung

Pembuktian langsung adalah metode pembuktian yang menggunakan alur maju.Mulai dari pendefinisian sampai menghasilkan kesimpulan. Gampangnya sih, “kalau A maka B dan kalau B maka C” hehe. Nah, untuk menggunakan alur maju, maka pernyataan-pernyataan sebelumnya harus benar.Coba deh kamu buktikan pernyataan ini.

“Jumlah dari dua bilangan genap adalah bilangan genap”

Ya... kalau kita pikir-pikir, ya pasti sih, 2 + 2 = 4 dan 4 + 10 = 14.Tapi gimana ya buat bisa membuktikan kalau pernyataan itu berlaku buat semua bilangan genap?Coba perhatikan deh gambar di bawah

         Jadi pertama kamu definisikan dulu tuh bilangan genap itu seperti apa. Bila definisinya sudah benar, lanjut ke pernyataan selanjutnya, maka penjumlahan kedua bilangan itu akan seperti apa. Kamu juga butuh sedikit memanipulasi penjumlah.

Setelah itu, lanjut deh ke kesimpulan.Ingat lho, kesimpulannya harus berdasarkan pernyataan sebelumnya. Apakah pembuktian ini berlaku untuk seluruh bilangan genap? Iya, karena di awal sudah disebutkan kalau m dan n adalah bilangan genap sembarang.

 

 

B. Metode Pembuktian Tidak Langsung

1). Kontraposisi

Kontraposisi adalah salah satu metode pembuktian tidak langsung. Kontraposisi memanfaatkan salah satu prinsip dalam logika matematika yaitu ; 

Artinya, kalau mau membuktikan pernyataan p akan menghasilkan pernyataan q itu benar, maka buktikan saja bila bukan q maka akan menghasilkan bukan p. Untuk memahami lebih lanjut coba deh buktikan

“Bila n bilangan bulat dan 7n + 9 bilangan genap, maka n bilangan ganjil”

Gimana nih membuktikannya pakai kontraposisi? Misalnya pernyataan p adalah 7n + 9 bilangan genap dan pernyataan q adalah n bilangan ganjil. Maka yang kita buktikan adalah bila n bukan bilangan ganjil (bilangan genap), maka 7n + 9 bukan bilangan genap (bilangan ganjil).Coba deh lihat gambar di bawah.

 

2). Kontradiksi

Kontradiksi ini juga termasuk pembuktian tidak langsung, Squad. Kita memanfaatkan logika matematika

Jika p → q bernilai benar padahal q salah, maka p salah

Hmm gimana tuh maksudnya?Coba deh kita buktikan pernyataan ini dengan kontradiksi.

“Bila n bilangan bulat dan n bilangan genap maka 7n + 9 bilangan ganjil”

Nah kita misalkan dulu pernyataan p adalah n bilangan genap dan pernyataan q adalah 7n + 9 adalah bilangan ganjil. Maka dengan kontradiksi, kita buktikan nih misalnya pernyataan n bukan bilangan genap (bilangan ganjil) maka 7n + 9 adalah bilangan ganjil benar, akan muncul suatu kontradiksi. Coba deh perhatikan gambar di bawah.

Lihat kan ternyata ada kontradiksi bila n adalah bilangan ganjil? Maka secara tidak langsung, pernyataan bila n bilangan genap maka 7n + 9 bilangan ganjil benar.

 

 

2.  Induksi Matematika

Induksi matematika menjadi sebuah metode pembuktian secara deduktif yang digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan benar atau salah. Dimana merupakan suatu proses atau aktivitas berfikir untuk menarik kesimpulan berdasarkan pada kebenaran pernyataan yang berlaku secara umum sehingga pada pernyataan khusus atau tertentu juga bias berlaku benar. Dalam induksi matematika ini, variabel dari suatu perumusan dibuktikan sebagai anggota dari himpunana bilangan asli.

 

A.  Penerapan Induksi Matematika Pada Barisan Bilangan

Sebelum masuk pada pembuktian deret, ada beberapa hal yang perlu dipahami dengan baik menyangkut barisan bilangan.

Jika P(n) :  u₁ + u₂ + u₃ + … + u_n = S_n , maka
P(1) :  u₁ = S₁
P(k) :  u₁ + u₂ + u₃ + … + u_k = S_k
P(k + 1) :  u₁ + u₂ + u₃ + … + u_k + u_k+1 = S_k+1

 

 

B. Penerapan Induksi Matematika Pada Keterbagian

Pernyataan “a habis dibagi b” bersinonim dengan :

• a kelipatan b
• b faktor dari a
• b membagi a

Jika p habis dibagi a dan q habis dibagi a, maka (p + q) juga habis dibagi a.
Sebagai contoh, 4 habis dibagi 2 dan 6 habis dibagi 2, maka (4 + 6) juga habis dibagi 2.

 

 

C. Penerapan Induksi Matematika Pada Pertidaksamaan

Berikut sifat-sifat pertidaksamaan yang sering digunakan:

1.  Sifat transitif
a > b > c  ⇒  a > c  atau
a < b < c  ⇒  a < c

2.  a < b dan c > 0  ⇒  ac < bc  atau
a > b dan c > 0  ⇒  ac > bc

3.  a < b  ⇒  a + c < b + c  atau
a > b  ⇒  a + c > b + c

Mari kita coba untuk latihan menggunakan sifat-sifat diatas untuk menunjukkan implikasi “jika P(k) benar maka P(k + 1) juga benar”.

Misalkan
P(k) :  4k < 2^k
P(k + 1) :  4(k + 1) < 2^k+1
Jika diasumsikan P(k) benar untuk k ≥ 5, tunjukkan P(k + 1) juga benar !

Ingat bahwa target kita adalah menunjukkan
4(k + 1) < 2^k+1 = 2(2^k) = 2^k + 2^k  (TARGET)

Kita dapat mulai dari ruas kiri pertaksamaan diatas
4(k + 1) = 4k + 4
4(k + 1) < 2^k + 4        (karena 4k < 2^k)
4(k + 1) < 2^k + 2^k      (karena 4 < 4k < 2^k)
4(k + 1) = 2(2^k)
4(k + 1) = 2^k+1

Berdasarkan sifat transitif kita simpulkan
4(k + 1) < 2^k+1

Mengapa 4k dapat berubah menjadi 2^k ?

Berdasarkan sifat 3, kita diperbolehkan menambahkan kedua ruas suatu pertaksamaan dengan bilangan yang sama, karena tidak akan merubah nilai kebenaran pertaksamaan tersebut. Karena 4k < 2^k benar, akibatnya 4k + 4 < 2^k + 4 juga benar.

Darimana kita tahu, 4 harus diubah menjadi 2^k ?

Perhatikan target. Hasil sementara kita adalah 2^k + 4 sedangkan target kita adalah 2^k + 2^k.
Untuk k ≥ 5, maka 4 < 4k dan 4k < 2^k adalah benar, sehingga 4 < 2^k juga benar (sifat transitif). Akibatnya 2^k + 4 < 2^k + 2^k  benar (sifat 3).